Еще один вопрос к залу

[imbg]

В процессе написания гранта я понял, что мое математическое образование хоть и было хорошим, и дало мне толчок к "вершинам духа", но за n-лет биологической работы сошло на  абсолютный ноль.

До сих пор я помню только, что площадь под кривой можно посчитать с помощью аналитических весов, вырезав ее хирургическими ножничками из миллиметровки, исравнить ее вес (весы дают точность до сотен микрограммов) со стандартом - квадратиком из той же миллиметровки  площадью 1 кв.см. Этих знаний мне не достаточно для определения одной функции.



На рис выше представлен график деградации моего белка. Товарищ batch2k помог мне ее изобразить, выслушав мои несвязные бормотанья с грамматическими описками.

Однако я хочу, чтоб было красыво:

1. у = 100%  при х=0 (старт)
2. Красивый сигмообразный склон почти до нуля, но не в ноль. Кривая идет вниз на 15-ой минуте, и после 20 выравнивается где-то очень рядом с осью х и идет так вдоль минут 15-20.
3. Через 45 минут кривая опять сигмообразно взмывает вверх и выходит на плато .
4, В идеально варианте кривая не симметричная, а чуть заваливается вправо, после 40 минуты.

Мой вопрос - есть  ли какая-нибудь красивая функция, хоть приблизительно описывающая такой шедевр?

Надеюсь что для физиков и математиков задача не  сложная. А я вам за это про ДНК потом расскажу.

Comments

[kalobok]

В принципе, такие вещи должны описываться достаточно просто - как сумма двух сигм. Одна спадает к 30 минуте, вторая поднимается от 40. Дальше можно попробовать умножить на что-то медленно уменьшающееся к бесконечности, чтобы получить спад спава. Сейчас я попробую прикинуть и написать формулу.

Если не секрет, что за процесс? Почему у него такие стадии? Это могло бы помочь с более правильным выбором функций.

[kalobok]

Вроде, примерно так выходит. Спадающая часть:

y1 = 1 - 1/(A1 + exp( (A2 - x)*A3 )

Здесь A1 определяет то, насколько кривая не доходит до 0 при бесконечности, A2 - сдвиг середины спада по оси x вправо, а A3 - крутизна спада. У меня получилось примерно так: A1=1.1, A2=20, A3=0.4.

Подъем делается аналогично и с примерно теми же параметрами, только не надо вычитать это все из единицы:

y2 = 1/(B1 + exp( (B2 - x)*B3 )

B1 надо, по идее, брать таким же, как и A1 (иначе правая часть поднимется выше левой), B2=50, B3=0.5 (подъем чуть круче, чем спад).

Потом складываем и получаем примерно вашу картинку:

y = y1 + y2

[kalobok]

Вот, набросал в екселе картинку. Похоже?

[imbg]

Ух ты - спасибо, а правда ли, что А и В я могу назвать коэфициентами моих реакций распада и синтеза? Тогда получится совсем по научному :)

[kalobok]

А, так там еще и синтез идет? Тогда немножно понятнее становится.

Если не ошибаюсь, A3 и B3 можно назвать скоростями распада и синтеза. Точнее, скоростями будут 1/A3 и 1/B3. Размерность тогда будет почти как у скорости - 1/мин.

A2 и B2 - какие-то характерные времена. Откуда они берутся и что означают без знания реакции и условий не скажу.

A1=B1 меня немножко смущает. По смыслу это минимальное количество белка (или что там у вас), при котором еще идет распад. Но, насколько я помню, так в жизни не бывает.

Можно попробовать немного другой вариант формулы: не складывать, а умножать y1*y2. Только, кажется, их надо будет сместить и перевернуть. При умножении будет трудно получить плато внизу, зато не понадобится эта минимальная концентрация, что полезно. Плато там точно есть? Попробую вечерком прикинуть и этот вариант. Если не ошибаюсь, именно произведением сигмоид у меня в диссере описывались какие-то свойства кальциевых каналов. Надо только диссер найти и посмотреть, как это было. :)

[kalobok]

Извиняюсь, соврал слегка. Конечно, не A1 - минимальное количество, а 1-1/А1. Если А1 чуть больше 1, то 1-1/А1 будет около 0 - как раз минимальная высота графика.

[imbg]

спасибо. Если вы разбираетесь в белковых электрофорезах - могу прилепить здесь фотографию динамики белка. Тогда будет понятнее - о чем я.

[kalobok]

Не очень разбираюсь, честно говоря. Но если вы фотографию еще и поясните немножко, попробую понять. :) Я лет 10 назад биофизикой занимался, так что какие-то знания еще остались, но не слишком много.

[imbg]

Все очень просто:
http://pics.livejournal.com/imbg/pic/0009g3g9
объем пятна - концентрация данного белка в данное время. Линия пятен - это тот же белок из того же объема клеток, которые были лизированы в разное время после стимуляции - каждое следующее пятно представляет концентрацию белка через 15 мин после предыдущего.
Дальше это оцифровывается через сканнер и переводится в числа. числа рисуют график. А из графика охота получить функцию и показать, что да как. Все кроме последнего я умею :)

[kalobok]

Ага. Я правильно понимаю, что в момент времени "ноль" делается какая-то стимуляция, которая запускает деградацию белка, а еще через некоторое время он синтезируется заново? Хорошо было бы еще знать, начинаются ли эти процессы одновременно, просто синтез дольше разгоняется, или он запускается каким-то еще сигналом.

Подумаю, но не обещаю, что прямо в ближайшие минуты что-то предложу. Вспомнить надо всю эту механику.

[imbg]

сигнал вызывает синтез мРНК этого белка уже на 5 минуте- разгон пока происходит, белок уничтожается (он, собственно говоря, ингибитор ответа) - его деградация перестает ингибировать сигнальный путь, который активируется. Но чтоб клеткане перевозбудилась - сразу нарабатывается новая порция ингибитора - по сути он превращает сигнал в серию импульсов.
подробнее с картинкой я писал тут: http://imbg.livejournal.com/44462.html

[kalobok]

Вобщем, я поковырялся немного. Видимо, тут лучше взять другую функцию - так называемую "логистическую".

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5

Она очень похожа по форме на то, что я уже показал, но формула чуть сложнее. Зато хорошо объясняется - в википедии можно почитать, да и в других местах она подробно разбирается. Вкратце: она описывает поведение системы, в которой скорость роста чего-либо (популяции, концентрации белка и т.п.) с одной стороны растет с ростом этого самого чего-либо (чем больше белка, тем быстрее он растет), но, с другой стороны, сам этот белок тормозит собственный синтез с квадратичной зависимостью. Скорость синтеза получается dC/dt = a*C - b*C^2. Пока C мало, идет довольно быстрый рост. Когда C приближается к максимуму, преобладает ингибирование. Аналогичной формулой может описываться и деградация, только знак производной будет обратный (ну и смысл коэффициентов тоже). Можно построить в том же екселе функции синтеза и деградации, сложить их и посмотреть, что получилось. Поиграться с параметрами. Думаю, должно подойти.

В принципе, хорошо бы написать один дифур, который описывает систему и учитывает и синтез, и деградацию, потом решить его и получить ту самую кривую. Но я сейчас за такое не возьмусь. Сложение двух функций - это, на мой взгляд, достаточно хорошее приближение.

Если что - пишите, постараюсь помочь.

[imbg]

Спасибо,вы уже и так достаточно потратили время наменя.
Логистическую функцию знаю - ею рост человечества описывается, если не ошибаюсь. В общем, информации я получил достаточно для размышления :)